樂透機率怎麼算？組合數 C(n,k) 白話推導，三行 Python 算出每個獎項

我在彩券行聽過最多次的一句話是「大樂透機率 1,398 萬分之一」，但問到為什麼是這個數字，沒人答得出來。這個數字其實只是一道國中排列組合題，而且學會算它之後，威力彩、539、包牌、對中三碼的機率全部用同一招就能算。這篇不講任何「技巧」，只講怎麼算，還有我自己算錯過的四個地方。

:::tip TL;DR

樂透的機率全部來自一個公式：C(n,k)＝n!/(k!(n−k)!)，意思是「n 個裡選 k 個、不管順序、不重複」有幾種選法。
C(49,6)＝13,983,816、C(38,6)×8＝22,085,448、C(39,5)＝575,757，三個分母算一次就記住了。
對中 k 碼的機率＝ C(獎號數,k)×C(非獎號數,剩下碼數) ÷ 總組合數；Python 的 math.comb 三行搞定。 :::

組合數 C(n,k) 到底在數什麼：用排隊想

想像 49 顆球排成一排讓你挑 6 顆。第一顆有 49 種選法，第二顆剩 48 種，依此類推，六顆挑完是 49×48×47×46×45×44 ＝ 10,068,347,520 種「有順序的」挑法。

但樂透不管順序。「3、17、25、31、40、48」跟「48、40、31、25、17、3」是同一注。6 顆球的排列順序有 6×5×4×3×2×1 ＝ 720 種，所以每一組號碼在上面那個數字裡被重複算了 720 次。除回去：10,068,347,520 ÷ 720 ＝ 13,983,816。

這就是 C(49,6)，念作「49 取 6」。一般寫法是：

C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!)
C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13,983,816

同樣的招式：今彩539 是 39×38×37×36×35 ÷ 120 ＝ 69,090,840 ÷ 120 ＝ 575,757。威力彩第一區 38×37×36×35×34×33 ÷ 720 ＝ 1,987,690,320 ÷ 720 ＝ 2,760,681，再乘第二區 8 種可能，22,085,448。

:::david 我國中的時候背 C(n,k) 公式背得很痛苦，直到有次寫程式需要算組合，才用「先算有順序的、再除掉重複的順序」這個想法重新理解它，從此沒再忘過。這也是為什麼我每次講機率都從「排隊」講，不從公式講。公式是結果，排隊才是原因。 :::

為什麼威力彩要相乘，不是 46 選 7

這是我看過最多人搞錯的地方。威力彩第一區 01～38、第二區 01～08，有人直覺把它當成「46 個號碼選 7 個」。錯在兩個地方：

第二區的號碼跟第一區是不同的球。第一區開出 05、第二區也可以開出 05。
第二區只選 1 個，跟第一區選 6 個是兩個獨立的動作。

兩個獨立事件同時發生，機率相乘，組合數也相乘：2,760,681 × 8 ＝ 22,085,448。官網寫「頭獎中獎率約 1/2,209 萬」就是這個數字。

同樣的邏輯可以反過來用：如果你第二區全包 8 個號碼，第二區一定對中，剩下就是第一區 1/2,760,681。這也是為什麼第二區全包剛好是 8 倍機率。

對中 k 碼的機率：把 49 個號碼分成三堆

頭獎只是「全中」，真正好玩的是中 3 碼、4 碼、5 碼的機率。方法是把號碼分堆。開獎後，49 個號碼變成三堆：6 個獎號、1 個特別號、42 個什麼都不是的號碼。

你的 6 個選號要「剛好對中 3 個獎號、沒碰到特別號」，就是從 6 個獎號裡選 3 個且從 42 個普通號碼裡選 3 個：

C(6,3) × C(42,3) = 20 × 11,480 = 229,600
機率 = 229,600 / 13,983,816 = 1/60.9

大樂透的八個獎項全部是這個模式，差別只在特別號有沒有算進去：

獎項	獎號堆選幾個	特別號	普通號堆選幾個	組合數
頭獎	6	－	0	C(6,6)＝1
貳獎	5	要	0	C(6,5)×1＝6
參獎	5	不要	1（從 42 個）	C(6,5)×42＝252
肆獎	4	要	1	C(6,4)×42＝630
伍獎	4	不要	2	C(6,4)×C(42,2)＝12,915
陸獎	3	要	2	C(6,3)×C(42,2)＝17,220
柒獎	2	要	3	C(6,2)×C(42,3)＝172,200
普獎	3	不要	3	C(6,3)×C(42,3)＝229,600

八個加起來 432,824，13,983,816 ÷ 432,824 ＝ 32.3，剛好是官網的「總中獎率約 1/32」。這個對帳步驟很重要，它能抓到你分堆分錯的地方。

順便檢查一下三堆的號碼數有沒有加對：每一列「獎號堆選幾個＋特別號（0 或 1）＋普通號堆選幾個」都要等於 6，因為你一注就是 6 個號碼。參獎那列是 5＋0＋1、柒獎是 2＋1＋3，都是 6。只要有一列加起來不是 6，那列的算式一定錯。這個檢查比對官網數字更快，我現在算新彩種的時候都先做這一步。

今彩539 更單純，沒有特別號，只有兩堆：5 個獎號、34 個普通號。中 2 碼就是 C(5,2)×C(34,3)＝10×5,984＝59,840，機率 1/9.6。威力彩要多乘一個第二區的因子：中就 ×1、不中就 ×7。完整表格在三篇玩法文裡。

三行 Python 算出所有獎項

Python 3.8 以後內建 math.comb，不用自己寫階乘：

from math import comb

total = comb(49, 6)                               # 13,983,816
for k in range(3, 7):                             # 對中 3～6 碼
    n = comb(6, k) * comb(43, 6 - k)              # 先不分特別號
    print(f"中 {k} 碼：{n:>9,} 種，機率 1/{total/n:,.1f}")

跑出來：中 3 碼 246,820 種（1/56.7）、中 4 碼 13,545 種（1/1,032）、中 5 碼 258 種（1/54,201）、中 6 碼 1 種。這個版本把特別號混在 43 個非獎號裡，所以「中 3 碼」是陸獎＋普獎合計、「中 5 碼」是貳獎＋參獎合計。要拆開特別號就把 comb(43, 6-k) 換成 comb(42, 6-k)（不含特別號）跟 comb(42, 5-k)（含特別號），兩行就夠。

威力彩版本只多一個乘數：

z1, z2 = comb(38, 6), 8
for k in range(1, 7):
    n = comb(6, k) * comb(32, 6 - k)
    print(k, f"二區中 1/{z1*z2/n:,.1f}", f"二區不中 1/{z1*z2/(n*7):,.1f}")

:::david 我第一次寫這段程式時，中 3 碼算出 1/56.7，跟官網的普獎 1/60.9 對不上，以為官網錯了。盯了十分鐘才想到我沒拆特別號：1/56.7 是「陸獎＋普獎」加起來的機率，拆開後 1/812 ＋ 1/60.9 剛好等於 1/56.7。從那次之後，我算任何樂透機率都會先用官網給的總中獎率對一次帳，對不上就一定是我分堆分錯。 :::

四個最常算錯的地方

一、忘記特別號是獨立的一堆。 算參獎用 C(6,5)×43 會多算 6 種，那 6 種是貳獎。大樂透任何「不含特別號」的獎項，普通號堆都是 42 不是 43。

二、把威力彩兩區合併。 上面講過了，46 選 7 是錯的，正解是 C(38,6)×8。

三、把注數直接當成機率倍數，但號碼有重複。 買 28 注不同組合，頭獎機率是 28/13,983,816 沒錯；但如果你 28 注裡有兩注號碼一樣，機率就只有 27 份。包牌（系統組合）保證不重複，自己手寫 28 張就不一定。

四、把「總中獎率」當成「每注回收率」。 大樂透總中獎率 1/32，意思是平均 32 注會中一次「任何獎」，而那個獎 92% 的機會是 400 元。它跟「拿回多少錢」是兩回事，後者要用期望值算。

還有一個不算錯、但常被誤用的：每期獨立。C(49,6) 算的是這一期的機率，跟上一期開了什麼、某個號碼幾期沒開完全無關。遺漏值、冷熱號可以描述過去，不能改變 13,983,816 這個分母。想看回測數據的話在冷熱號有用嗎。

常見問題

大樂透 13,983,816 這個數字怎麼算出來的？ 49 個號碼選 6 個不管順序的組合數 C(49,6)＝49×48×47×46×45×44 ÷ (6×5×4×3×2×1)＝10,068,347,520 ÷ 720＝13,983,816。分子是有順序的排法，除以 6! 把順序消掉。

為什麼威力彩是 22,085,448 而不是 C(39,7) 之類的？ 威力彩兩區是分開抽的：第一區 C(38,6)＝2,760,681 種，第二區 8 種，獨立事件相乘得 22,085,448。第二區的號碼可以跟第一區重複（都有 01～08），所以不能合成一個 46 選 7。

中三個號碼的機率怎麼算？ 以大樂透為例，49 個號碼裡 6 個是獎號、42 個不是（扣掉特別號）。對中剛好 3 碼的組合數是 C(6,3)×C(42,3)＝20×11,480＝229,600，除以 13,983,816 得 1/60.9。

買 10 注機率是不是 10 倍？ 10 注不同號碼，頭獎機率是 10/13,983,816，確實 10 倍，因為每注對應不同的組合。但 10 注同樣號碼機率不會變，只是中了領 10 份。注數乘機率的前提是號碼組合不重複。

用 Python 怎麼算樂透機率？ from math import comb，然後 comb(49,6) 就是總組合數；對中 k 碼的組合數是 comb(6,k)*comb(42,6-k)。三行就能印出所有獎項，文章裡有完整程式碼。