彩券行牆上常貼著「包牌專區：8 碼 1,400、9 碼 4,200、10 碼 10,500」，旁邊還有「頭獎機率提高 28 倍」。我第一次看到的反應是：那成本呢？回家把 C(n,6) 算一遍，發現機率倍數跟成本倍數一模一樣，連一個百分點都沒差。但這不代表包牌沒有意義，它改變的是另一件事。這篇把數字全部攤開。
:::tip TL;DR
- 包 n 碼＝買 C(n,6) 注：7 碼 7 注 350 元、8 碼 28 注 1,400 元、10 碼 210 注 10,500 元、12 碼 924 注 46,200 元。
- 每一種包法的頭獎機率倍數 ＝ 成本倍數，每一塊錢的期望值跟買單注完全相同（理論 56%）。
- 包牌真正改變的是「中獎時的獎金形狀」：8 碼裡有 6 個獎號時，28 注會同時帶回 1 注頭獎、12 注參獎或貳獎、15 注伍獎。 :::
包牌（系統組合）到底在買什麼
台彩官網把包牌叫「系統組合」：在選號區選 7～16 個號碼，投注機把這些號碼的所有 6 碼組合全部列出來，每一組算一注 50 元。官網舉的例子是選 5、10、18、24、32、33、47 七個號碼，排出 7 注。
注數就是組合數 C(n,6)：
| 選號數 | 注數 C(n,6) | 總金額 | 頭獎機率 | 相對單注倍數 |
|---|---|---|---|---|
| 6（單注） | 1 | 50 元 | 1/13,983,816 | 1 |
| 7 | 7 | 350 元 | 1/1,997,688 | 7 |
| 8 | 28 | 1,400 元 | 1/499,422 | 28 |
| 9 | 84 | 4,200 元 | 1/166,474 | 84 |
| 10 | 210 | 10,500 元 | 1/66,590 | 210 |
| 11 | 462 | 23,100 元 | 1/30,268 | 462 |
| 12 | 924 | 46,200 元 | 1/15,134 | 924 |
| 16 | 8,008 | 400,400 元 | 1/1,746 | 8,008 |
注數跟金額我對過官網的表，完全一致。頭獎機率那欄是 C(n,6) ÷ 13,983,816，因為你買的每一注都是一組不同的 6 碼，中頭獎的組合數就是你買的注數。
另一種叫「系統配號」：自選 5 個號碼，第六碼跟剩下 44 個號碼各配一次，固定 44 注 2,200 元。頭獎機率 44/13,983,816 ＝ 1/317,814，也是剛好 44 倍。
機率倍數 vs 成本倍數：為什麼永遠是 1：1
這件事用一句話就能講完：大樂透每一注的中獎機率都一樣，不管它是你一注一注買的，還是投注機幫你排出來的。28 注就是 28 個獨立的 1/13,983,816，加起來 28/13,983,816。期望值也一樣，每注理論約 28 元（56% 支出率 × 50 元），28 注就是 784 元，你付 1,400 元。
from math import comb
total = comb(49, 6)
for n in range(7, 13):
bets = comb(n, 6)
print(n, "碼", bets, "注", bets*50, "元",
f"頭獎 1/{total/bets:,.0f}",
f"機率倍數/成本倍數 = {bets/bets:.0f}")
最後一欄每行都印 1。這不是巧合，是定義：你用 28 倍的錢買了 28 倍的號碼組合。所以「包牌比較划算」這句話如果指的是每一塊錢的回收率，答案是沒有差；「包牌比較不划算」也不對，它跟單注一樣。
:::david 我有一度想找出「包牌的隱藏優勢」，試了一個方向：單注如果中頭獎，就只有那一注；包牌中頭獎的時候旁邊的注會一起中小獎，是不是賺到了？算完才發現沒有。8 碼包牌中頭獎時旁邊 27 注帶回的獎金，是那 27 注各自的期望值兌現，它們本來就是你花 1,350 元買的。「順便中」的錯覺來自於你把 28 注當成一張票，但在數學上它是 28 張票。 :::
包牌真正改變的事：中獎時的獎金形狀
包牌不改變效率，但它改變「選對號碼的時候會拿到什麼」。這才是它存在的理由。
情境一：你選的 8 個號碼裡剛好有全部 6 個獎號（機率 1/499,422）。28 注的組成：
| 對中碼數 | 注數算式 | 注數 | 獎項 |
|---|---|---|---|
| 6 碼 | C(6,6)×C(2,0) | 1 | 頭獎 |
| 5 碼 | C(6,5)×C(2,1) | 12 | 參獎（含特別號則為貳獎） |
| 4 碼 | C(6,4)×C(2,2) | 15 | 伍獎 2,000 元（含特別號則為肆獎） |
單注中頭獎就是一個頭獎。包牌中頭獎是一個頭獎加 12 個參獎加 15 個伍獎。這不是多賺，是你用 1,400 元買到了「只要我這 8 個號碼對了，所有能拿的我都拿」。
情境二：8 個號碼裡只有 5 個獎號（機率 1/6,091，比情境一常見 82 倍）：
| 對中碼數 | 注數 | 獎項 | 固定獎金 |
|---|---|---|---|
| 5 碼 | C(5,5)×C(3,1)＝3 | 參獎 | 浮動 |
| 4 碼 | C(5,4)×C(3,2)＝15 | 伍獎 | 30,000 元 |
| 3 碼 | C(5,3)×C(3,3)＝10 | 普獎 | 4,000 元 |
固定獎合計 34,000 元，再加 3 注參獎（最近 100 期資料裡參獎單注介於 26,003～114,566 元，中位數 52,358 元，2026-10-02 那期是 51,741 元）。單注買的人就算選對 5 碼，也只有一注參獎。
情境三：8 個號碼裡只有 4 個獎號（機率 1/243.6）：6 注伍獎 12,000 元加 16 注普獎 6,400 元，合計 18,400 元，付出 1,400 元。這是包 8 碼「最常發生的有感中獎」，大約每 244 次包牌會遇到一次，攤下來每次包牌的貢獻是 75 元，佔 1,400 元成本的 5.4%。
把 7～12 碼的「只對中 4 個獎號」情境列出來：
| 選號數 | 成本 | 含 4 個獎號的機率 | 固定獎合計 | 佔成本比例 |
|---|---|---|---|---|
| 7 | 350 | 1/464 | 7,600 元 | 21.7 倍 |
| 8 | 1,400 | 1/244 | 18,400 元 | 13.1 倍 |
| 9 | 4,200 | 1/142 | 36,000 元 | 8.6 倍 |
| 10 | 10,500 | 1/90 | 62,000 元 | 5.9 倍 |
| 12 | 46,200 | 1/42 | 145,600 元 | 3.2 倍 |
包越多碼，「對中 4 個獎號」越常發生，但拿到的錢相對成本越少。這就是包牌的本質：你在用錢把一條很尖的機率曲線壓平。
那包幾碼？用成本決定，不是用機率決定
因為每一種包法的每塊錢效率都一樣，「包幾碼最划算」是個沒有答案的問題。真正該問的是兩件事：
- 你願意一次付多少。包 8 碼 1,400 元跟買 28 期單注是一樣的期望值，只是把一年的錢壓在一期。
- 你想要哪種獎金形狀。包牌把「選對號碼」這件事的回報做成一整包，單注則是分散到不同期。
另外還有分獎的問題：大樂透頭獎是浮動均分的，你包 8 碼中頭獎，跟別人單注中頭獎，拿到的頭獎金額完全一樣（如果都是獨得）。包牌不會讓你多分一點。想試不同碼數的注數跟費用，站內的 包牌／連碰計算機 可以直接按，支援 7～16 碼。
:::david 老實說寫完這篇我對包牌的看法是：它是一種「心理上的整數」。1,400 元買 28 注，跟 28 期各買一注，數學上一樣，但前者讓你覺得「我把這 8 個號碼全部顧到了」。這種感覺本身沒有錯，只是它值不值 1,400 元是你自己決定的，不是數學決定的。我自己算完之後反而更不想包了，因為我發現我喜歡的是「每週開獎前那五分鐘」，而不是一次把它們用完。 :::
常見問題
大樂透包牌是什麼意思？ 官方名稱是「系統組合」：選 7～16 個號碼，投注機把所有 6 碼組合全部列出來買。注數等於 C(選號數,6)，例如 7 碼 7 注、8 碼 28 注、10 碼 210 注，每注 50 元。
大樂透包 8 碼多少錢？機率提高多少？ C(8,6)＝28 注，1,400 元。頭獎機率從 1/13,983,816 變成 28/13,983,816＝1/499,422，剛好 28 倍，跟多花的 28 倍錢一樣。
包牌會不會比單注划算？ 不會也不會更差。每一注的期望值都一樣（理論約 28 元／50 元），包 28 注的期望值就是單注的 28 倍。包牌改變的是中獎時獎金的分布，不是每塊錢的回收率。
包牌如果只中 5 個獎號會拿到多少？ 以包 8 碼為例，8 個號碼裡有 5 個獎號時，28 注裡有 3 注對中五碼（參獎）、15 注對中四碼（伍獎 2,000 元）、10 注對中三碼（普獎 400 元），固定獎部分合計 34,000 元，再加 3 注參獎。
包幾碼最划算？ 沒有「最划算」的碼數，每一種的機率倍數都等於成本倍數。差別只在你願意一次付多少錢、以及中獎時想拿到多少連帶小獎。想比較不同碼數可以用站內的包牌計算機。
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