大樂透玩法完整解析：49 選 6 的中獎機率、獎金結構與包牌成本

我第一次認真研究大樂透，是因為公司茶水間有人說「中三個號碼就有 400 元，很容易啊」。我當場想：容易是多容易？回家打開 Python 算了一下 C(49,6)，才發現「容易」跟「划算」完全是兩回事。這篇把大樂透的玩法、每個獎項的機率、獎金怎麼分，一次用數字講清楚。

:::tip TL;DR

大樂透是 49 選 6，一注 50 元，每週二、五開獎；頭獎機率 1/13,983,816，任何獎都算進去的總中獎率是 1/32.3。
獎金支出率 56%：每賣 100 元彩券，56 元進獎金池，頭獎拿掉固定獎後餘額的 82%，有人中但不足 1 億時補到 1 億。
普獎（三碼）400 元看起來多，機率卻是 1/60.9，期望值 6.6 元；一注 50 元有 44 元是在買頭獎那個夢。 :::

大樂透玩法：49 選 6 加一個特別號

規則很簡單：從 01～49 選 6 個號碼，一組算一注，一注 50 元。開獎時台彩會開出六個獎號加一個特別號，特別號不是「第七個號碼」，它只在貳獎、肆獎、陸獎、柒獎四個獎項派上用場。

買的方式有自選、全部快選（電腦選號）、部分快選（自己選 1～5 個，剩下電腦補），還有兩種「一次買很多注」的方式：

系統組合：選 7～16 個號碼，電腦把所有 6 碼組合全部列出來。這就是大家口中的「包牌」。
系統配號：選 5 個號碼固定，第六碼跟剩下 44 個號碼各配一次，固定 44 注 2,200 元。

另外可以一次買 2～10 期，或預購 9 期內的任一期。開獎日照官網的開獎時間表是每週二、週五。我不太相信自己的記憶，所以用資料庫最近 60 期的 drawDate 算了星期幾：30 期週二、30 期週五，剛好對上。

八個獎項的中獎方式與機率（C(49,6) 推導）

官網只寫「頭獎中獎率約 1/1,398 萬，總中獎率約 1/32」，中間每個獎項的機率要自己算。算法只有一個公式：對中 k 個獎號、特別號條件再乘上去。49 個號碼裡有 6 個獎號、1 個特別號、42 個什麼都不是的號碼。

獎項	中獎方式	組合數算式	中獎機率	表定獎金
頭獎	六碼全中	C(6,6)＝1	1/13,983,816	浮動（見下節）
貳獎	五碼＋特別號	C(6,5)×1＝6	1/2,330,636	浮動
參獎	五碼	C(6,5)×42＝252	1/55,491	浮動
肆獎	四碼＋特別號	C(6,4)×42＝630	1/22,197	浮動
伍獎	四碼	C(6,4)×C(42,2)＝12,915	1/1,083	2,000 元
陸獎	三碼＋特別號	C(6,3)×C(42,2)＝17,220	1/812	1,000 元
柒獎	兩碼＋特別號	C(6,2)×C(42,3)＝172,200	1/81.2	400 元
普獎	三碼	C(6,3)×C(42,3)＝229,600	1/60.9	400 元

分母全部是 13,983,816。注意「參獎五碼」的算式是 C(6,5)×42 而不是 C(6,5)×43：第六個落選號碼如果剛好是特別號，就變成貳獎了，所以要把特別號排除。八個獎項的組合數加起來是 432,824，13,983,816 ÷ 432,824 ＝ 32.3，這就是官網「總中獎率約 1/32」的來源。

from math import comb
total = comb(49, 6)                       # 13,983,816
tiers = {
  "頭獎": comb(6,6),
  "貳獎": comb(6,5)*1,  "參獎": comb(6,5)*42,
  "肆獎": comb(6,4)*42, "伍獎": comb(6,4)*comb(42,2),
  "陸獎": comb(6,3)*comb(42,2), "柒獎": comb(6,2)*comb(42,3),
  "普獎": comb(6,3)*comb(42,3),
}
for k, v in tiers.items():
    print(k, f"1/{total/v:,.1f}")

:::david 我一開始算參獎的時候寫成 C(6,5)×43，結果八個獎項加起來跟官網的 1/32 對不上，差了一點點。卡了半小時才想到：剩下 43 個號碼裡有一個是特別號，它不能算在「五碼」裡，要單獨拆給貳獎。這種差一個號碼的錯，用官方給的總中獎率反推回來就抓得到，所以我現在算任何彩種都會先對這個數。 :::

大樂透獎金結構：56% 支出率怎麼分

官網的分配方式是這樣：當期銷售額 × 56% ＝當期總獎金。伍獎到普獎先用固定金額付掉（2,000／1,000／400／400），剩下的餘額再按比例分給前四個獎項：

獎項	分配比率
頭獎	82%
貳獎	6.5%
參獎	7%
肆獎	4.5%

幾個會影響你拿到多少錢的規則：

頭獎保底 1 億：有人中頭獎、但當期分配加上前期累積還不到 1 億時，以 1 億計算。資料裡最近 100 期有 19 期開出頭獎，其中 6 期的單注獎金剛好是 100,000,000 元，就是補到保底的結果。
沒人中就累積：頭獎到肆獎無人中獎時，獎金滾進下一期同獎項。
熱門號碼均分：伍獎到普獎合計超過總獎金 75% 時，全部改成按比例均分，實際單注會低於表定金額。

所以「中三碼拿 400」不是絕對保證，只是在正常情況下成立。

一注 50 元在買什麼：各獎項期望值拆解

把表定固定獎金乘上機率，就能看到 50 元裡每一塊錢花在哪裡：

獎項	機率	表定獎金	單注期望值
伍獎	1/1,083	2,000	1.85 元
陸獎	1/812	1,000	1.23 元
柒獎	1/81.2	400	4.93 元
普獎	1/60.9	400	6.57 元
小計			14.6 元

四個固定獎加起來期望值 14.6 元，佔票價 29%。總獎金是 56%，也就是 28 元，所以頭獎到肆獎四個浮動獎合計大約 13.4 元的期望值，其中頭獎佔 82%。換句話說，一張 50 元的大樂透，大概 11 元是在買那個 1/1,398 萬。這不是壞事，只是你要知道自己買的是什麼。

:::david 老實說，算完這張表我對「中三碼很容易」的想法整個翻轉。1/60.9 的意思是：你每週買兩期、一期一注，平均要半年多才會中一次普獎，拿回 400 元；這半年你花了 2,600 元左右。我後來把資料庫最近 100 期的實際派彩全部加起來除以銷售額，是 57.3%，跟 56% 差不多，多出來的 1.3 個百分點是頭獎保底跟前期累積獎金在這 100 期裡被領走的部分。詳細算法我放在期望值比較那篇。 :::

包牌（系統組合）的注數與成本

包牌不是什麼神秘技巧，它就是把 n 個號碼的所有 6 碼組合全買下來，注數＝ C(n,6)，成本＝注數 × 50。官網表格對照我自己算的結果完全一致：

選號數	注數 C(n,6)	總金額	頭獎機率
7	7	350 元	1/1,997,688
8	28	1,400 元	1/499,422
9	84	4,200 元	1/166,474
10	210	10,500 元	1/66,590
12	924	46,200 元	1/15,134
16	8,008	400,400 元	1/1,746

機率提升的倍數跟成本提升的倍數一模一樣：買 28 注就是 28 倍機率、28 倍錢。包牌改變的是「如果我選的 8 個號碼裡真的有 6 個獎號，我保證全部拿到」，而不是提高每一塊錢的效率。想試不同碼數的話，站內的包牌／連碰計算機可以直接按。划不划算的完整分析我寫在大樂透包牌划算嗎。

中獎之後：稅跟兌獎期限

照台彩「如何兌獎」頁面：單注獎金 5,000 元（含）以下免稅，超過 5,000 元的部分一律扣 20% 所得稅（分離課稅，不併入綜所稅），用現金或轉帳領取時再扣千分之四印花稅。兌獎期限是開獎日次日起三個月。5,000 元以下在投注站就能領，5,000 元到 500 萬元去中國信託指定分行，超過 500 萬要先打高額兌獎專線預約。所以伍獎 2,000 元免稅，參獎以上幾乎都要扣兩成。完整流程在樂透中獎稅與領獎流程。

常見問題

大樂透一注多少錢？ 一注新臺幣 50 元，六個號碼一組算一注。多期投注就是 50 元乘以注數再乘以期數，官網的例子是（50+50+50+350+2,200）×2 期＝5,400 元。

大樂透頭獎的中獎機率是多少？ 49 個號碼選 6 個共有 C(49,6)＝13,983,816 種組合，只有一種全中，所以單注頭獎機率是 1/13,983,816，官網寫「約 1/1,398 萬」就是這個數字四捨五入。

大樂透什麼時候開獎？ 每週二、週五開獎。我拿資料庫最近 60 期的開獎日期算星期幾，剛好 30 期週二、30 期週五，跟官網開獎時間表一致。

大樂透中三個號碼有多少錢？ 對中任三碼是普獎，固定 400 元；如果三碼再加特別號就是陸獎 1,000 元。但伍獎到普獎在熱門號碼開出、獎金總額超過總獎金 75% 時會改成均分，實際可能低於表定金額。

大樂透包牌要花多少錢？ 選 7 個號碼系統組合是 7 注 350 元，8 碼 28 注 1,400 元，9 碼 84 注 4,200 元，10 碼 210 注 10,500 元，最多 16 碼 8,008 注 400,400 元。注數就是 C(選號數,6)。