做大樂透工具頁的時候我需要一張「每個號碼開過幾次」的底表，索性把 2014 年 1 月第 103000001 期到 2026 年 10 月 2 日第 115000093 期全部 1,441 期的開獎號碼一次算完。算完之後我又多做了兩件事：用卡方檢定看這 49 個數字均不均勻，還有把資料切成兩半，看前半段最熱的號碼在後半段過得怎樣。
:::tip TL;DR
- 1,441 期、每期 6 個號碼，每個號碼理論平均開 176.4 次；實際最多的 41 號 201 次，最少的 4 號 151 次。
- 卡方值 29.2（修正後 33.3），自由度 48，臨界值 65.2——看不出任何偏差，甚至偏向「太平均」那一側。
- 前半段最熱的 32 號，到後半段變成倒數第二名；熱門號碼不會延續。 :::
資料範圍與算法
資料來自台彩官方 API，每期的 numbers 欄位是排序後的六個開出號碼，特別號另存在 special。計算方式就是最直白的那種：
from collections import Counter
c = Counter(n for d in draws for n in d["numbers"]) # 1441 期 × 6 顆 = 8646 顆球
expected = 1441 * 6 / 49 # 176.45
chi2 = sum((c[n] - expected)**2 / expected for n in range(1, 50))
每個號碼每期出現的機率是 6/49，1,441 期的期望次數是 176.45 次，標準差 √(1441 × 6/49 × 43/49) ≈ 12.4 次。看下面的表時，「差」那欄就是跟 176 的距離，±12 以內很普通，±25 才算到了邊緣。
49 個號碼的完整出現次數表
讀表之前先講一下怎麼讀。「差」是實際次數減 176，正負 12 以內（一個標準差）是最常見的狀態，理論上約有三分之二的號碼會落在這裡；正負 25 已經是兩個標準差，49 個號碼裡預期只有 2 個左右會到這個位置。看到某個號碼 +18 就說它「很旺」，等於把一個半標準差當成異常，這是大部分冷熱號文章的通病。
| 號碼 | 次數 | 差 | 號碼 | 次數 | 差 | 號碼 | 次數 | 差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 01 | 175 | -1 | 18 | 180 | +4 | 35 | 192 | +16 |
| 02 | 181 | +5 | 19 | 184 | +8 | 36 | 172 | -4 |
| 03 | 170 | -6 | 20 | 182 | +6 | 37 | 183 | +7 |
| 04 | 151 | -25 | 21 | 180 | +4 | 38 | 163 | -13 |
| 05 | 171 | -5 | 22 | 177 | +1 | 39 | 169 | -7 |
| 06 | 162 | -14 | 23 | 183 | +7 | 40 | 175 | -1 |
| 07 | 180 | +4 | 24 | 159 | -17 | 41 | 201 | +25 |
| 08 | 194 | +18 | 25 | 180 | +4 | 42 | 168 | -8 |
| 09 | 161 | -15 | 26 | 188 | +12 | 43 | 174 | -2 |
| 10 | 174 | -2 | 27 | 176 | 0 | 44 | 170 | -6 |
| 11 | 194 | +18 | 28 | 159 | -17 | 45 | 174 | -2 |
| 12 | 179 | +3 | 29 | 189 | +13 | 46 | 178 | +2 |
| 13 | 180 | +4 | 30 | 191 | +15 | 47 | 170 | -6 |
| 14 | 171 | -5 | 31 | 162 | -14 | 48 | 168 | -8 |
| 15 | 190 | +14 | 32 | 185 | +9 | 49 | 174 | -2 |
| 16 | 181 | +5 | 33 | 184 | +8 | |||
| 17 | 172 | -4 | 34 | 170 | -6 |
最熱前六名：41（201）、8（194）、11（194）、35（192）、30（191）、15（190）。最冷前六名：4（151）、24（159）、28（159）、9（161）、6（162）、31（162）。27 號剛好開 176 次，跟理論值一模一樣。
:::david 我第一眼看到 41 號 201 次、4 號 151 次，差了 50 次，心裡想「這也差太多」。然後我用亂數器模擬了 1,000 組假的 1,441 期開獎，每一組都去找最熱跟最冷差多少。中位數是 56 次，5% 分位是 44 次、95% 分位是 70 次。也就是說，真實資料的 50 次差距比一半以上的模擬結果還小；要是只差 20 次我才該懷疑。 :::
卡方檢定：這 49 個數字均勻嗎
卡方檢定的概念很簡單：把每個號碼「實際次數減期望次數」平方再除以期望次數，49 個加起來。如果搖獎機偏心，某些號碼會離期望值很遠，這個總和就會變大。
| 項目 | 數值 |
|---|---|
| 卡方值（直接算） | 29.19 |
| 不放回修正後 | 33.26 |
| 自由度 | 48 |
| 5% 顯著水準臨界值 | 65.17 |
| 1% 顯著水準臨界值 | 73.68 |
這裡有一個我自己踩到的細節。教科書的卡方檢定假設每顆球是獨立抽的，但大樂透一期 6 顆球不會重複，同一期內的號碼互相排擠，變異數會比獨立抽樣小 (1 − 6/49) 倍，所以直接算出來的卡方值會系統性偏低。把它除以 43/49 修正後是 33.26。不管修正前後，都遠低於 65.17，結論一樣：看不出偏差。
有趣的是 33.26 落在自由度 48 分布的左尾，大約前 5% 的位置——意思是這批資料比典型的隨機資料還稍微「平均」一點。這不是什麼異常，只是提醒你：真實的隨機資料偶爾也會長得過度整齊。
特別號：另一張 49 格的表
特別號是第七顆球，每期只有一顆，所以它不需要上面的不放回修正，可以直接對標準卡方表。1,441 期每個號碼期望各 29.4 次、標準差 5.4 次：
| 排名 | 號碼 | 次數 | 排名 | 號碼 | 次數 |
|---|---|---|---|---|---|
| 最多 1 | 24 | 45 | 最少 1 | 17 | 18 |
| 最多 2 | 31 | 40 | 最少 2 | 32 | 18 |
| 最多 3 | 41 | 40 | 最少 3 | 20 | 21 |
| 最多 4 | 2 | 38 | 最少 4 | 23 | 21 |
| 最多 5 | 37 | 38 | 最少 5 | 44 | 21 |
24 號 45 次是 +2.9 個標準差，比正六個號碼裡任何一個的偏離都大。特別號的卡方值 59.98，自由度 48，低於 65.17 的臨界值，對應的 p 值約 0.12——比正六個號碼的 0.95 低很多，但仍在「看不出偏差」的範圍。特別號每期只有一顆、樣本只有 1,441 個，波動本來就比正六個號碼（8,646 個樣本）大，24 號這種 +2.9σ 在 49 個號碼裡出現一個，用二項分布算大約是 18%，不算罕見。
熱號會延續嗎：前後半段對照
這是我覺得整篇最有說服力的一段。把 1,441 期切成前 720 期和後 721 期，各算一次出現次數：
| 前半段排名 | 號碼 | 前半段次數 | 後半段次數 | 後半段排名 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 32 | 111 | 74 | 48 |
| 2 | 41 | 106 | 95 | 12 |
| 3 | 8 | 104 | 90 | 19 |
| 4 | 11 | 99 | 95 | 9 |
| 5 | 12 | 99 | 80 | 41 |
| 6 | 16 | 98 | 83 | 36 |
| 7 | 37 | 98 | 85 | 34 |
| 8 | 35 | 97 | 95 | 11 |
| 9 | 1 | 93 | 82 | 38 |
| 10 | 23 | 93 | 90 | 22 |
前半段的十大熱號，到了後半段有四個掉到 30 名之外，冠軍 32 號直接掉到第 48 名。兩半段 49 個號碼次數的相關係數是 −0.16，以 49 個樣本來說等於零。如果熱號有任何「慣性」，這個數字應該明顯是正的。
:::david 我原本想在工具頁上做一個「連續 N 年都偏熱的號碼」榜，寫完這段對照之後把它拿掉了。因為我自己算出來的結果告訴我：那個榜每年都會換人，放上去只會誤導人。這篇的完整回測在冷號熱號有用嗎。 :::
每年的分布都正常嗎
為了確認不是「整體平均、局部有鬼」，我把每一年單獨算一次修正後卡方值（自由度都是 48）：2014 年 58.1、2015 年 52.7、2016 年 36.2、2017 年 50.0、2018 年 39.9、2019 年 47.9、2020 年 52.3、2021 年 43.6、2022 年 38.0、2023 年 61.8、2024 年 47.0、2025 年 39.9、2026 年（到 10 月）52.4。十三個數字全部低於 65.17，最高的 2023 年也只到 61.8，對應的 p 值約 0.09。單一年只有 110 期左右，波動本來就大，十三年裡出現一個 p = 0.09 的年份，機率超過七成，看到 61.8 不用緊張。如果某一年真的超過 65.17，我也會先看隔年有沒有延續，而不是直接下結論——單年顯著、隔年消失，才是隨機最常見的長相。
想看近 30／50／100 期的即時冷熱號，去工具頁：大樂透最新開獎與冷熱號。看之前記得這篇的結論。
常見問題
大樂透哪個號碼開最多次？ 2014-01-03 到 2026-10-02 共 1,441 期，41 號開出 201 次最多，其次 8 號與 11 號各 194 次。理論平均是 176.4 次，41 號比平均多 25 次、約 2 個標準差。
大樂透哪個號碼開最少次？ 4 號只開出 151 次，比理論平均少 25 次；24 號與 28 號各 159 次。最熱與最冷差 50 次，在 49 個號碼的隨機分布裡屬於正常範圍。
這些差距代表搖獎機有偏差嗎？ 卡方檢定值 29.2（不放回修正後 33.3），自由度 48，5% 顯著水準的臨界值是 65.2，離得很遠。看不出任何號碼被偏好或被排擠。
現在最熱的號碼之後會繼續熱嗎？ 我把 1,441 期切成前後兩半，前半段最熱的 32 號（111 次）到後半段只開 74 次，排名第 48。兩半段各號碼次數的相關係數 −0.16，熱不會延續。
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