樂透開獎隨機嗎？用卡方檢定與遊程檢定看大樂透、威力彩、539 共 6,772 期

做完冷熱號回測之後，有讀者問我：「你怎麼確定台彩開獎是真的隨機？」好問題。我不能打開搖獎機看，但我可以做統計學家會做的事：假設它是隨機的，算出各種數字「應該」長什麼樣子，再看實際資料有沒有明顯對不上。這篇把我對三個彩種、2014 年到 2026 年 10 月共 6,772 期做的檢定全部列出來，包括兩個擦邊的。

:::tip TL;DR

每號出現次數卡方檢定：大樂透 33.3（df 48，臨界 65.2）、威力彩 30.6（df 37，臨界 52.2）、今彩539 45.9（df 38，臨界 53.4），全部通過。
和值序列遊程檢定 z 分數：−0.74、−0.17、−0.54，看不出前後期有關聯。
十幾項檢定裡有兩項擦到 5% 顯著線（威力彩第二區分布、威力彩雙 3:3 比例）；這個數量符合「做很多檢定總會有一兩個擦邊」的預期。結論：看不出偏差，但不是「證明隨機」。 :::

檢定一：每個號碼出現次數的卡方檢定

這是最直接的檢定。如果搖獎機公平，每個號碼被開出的次數應該接近「期數 × 每期開出顆數 ÷ 號碼總數」。卡方值就是把每個號碼的（實際 − 期望）² ÷ 期望加總，數字越大代表偏得越遠。

def chi_square(counts, draws, k, n):
    expected = draws * k / n
    chi = sum((c - expected) ** 2 / expected for c in counts)
    return chi / (1 - k / n)      # 不放回修正，見下文

彩種	期數	卡方值（原始）	修正後	自由度	5% 臨界值	1% 臨界值	結果
大樂透 49 選 6	1,441	29.19	33.26	48	65.17	73.68	通過
威力彩第一區 38 選 6	1,331	25.79	30.62	37	52.19	59.89	通過
今彩539 39 選 5	4,000	40.03	45.92	38	53.38	61.16	通過

「修正後」那欄需要解釋。標準卡方檢定假設每一顆球都是獨立抽的，但樂透一期的六顆球不會重複——同一期內 41 號開了，其他 48 個號碼這期就少了一個機會。這種「不放回」會讓每號次數的變異數縮小 (1 − k/n) 倍，直接算的卡方值會系統性偏低，看起來比真正隨機還「均勻」。除回去之後才能對標準的卡方分布表。

:::david 這個修正是我自己踩出來的。第一次算大樂透卡方值 29.19，自由度 48 的分布平均值是 48，29 低到有點不正常——在左尾 1.5% 的位置。我盯著數字想「資料是不是被人整理過」，想了一個晚上才意識到是不放回的問題，每期六顆球互相排擠，變異數本來就該是獨立抽樣的 43/49。修正後 33.26，落在左尾 5% 左右，仍然偏均勻一點，但沒有到需要解釋的程度。 :::

同一招我也用在單球項目上。大樂透特別號（每期一顆、49 選 1，不需要修正）卡方 59.98，自由度 48，低於 65.17。威力彩第二區（8 選 1）卡方 14.35、自由度 7，5% 臨界值 14.07——超過了。這是本篇第一個擦邊值，細節在第二區統計那篇：切成前後兩半各自檢定都通過（10.4 與 7.0），逐年沒有任何號碼持續偏熱，我判斷是多重檢定下的擦線，繼續追蹤。

檢定二：最熱與最冷差多少才正常

卡方值對一般人不直觀，我換個方式問：「最熱號碼跟最冷號碼差 50 次，正常嗎？」我用亂數器產生 1,000 組假的開獎資料（期數、規則跟真實一樣），每組都算一次最熱減最冷：

彩種	真實資料的最熱−最冷	模擬 1,000 組的中位數	模擬 5%～95% 區間
大樂透	50 次（41 號 201 − 4 號 151）	56	44～70
威力彩第一區	48 次（38 號 232 − 32 號 184）	57	45～73
今彩539	99 次（17 號 557 − 33 號 458）	91	70～118

三個真實值都落在模擬區間的中間地帶。大樂透跟威力彩的差距甚至比一半以上的模擬結果還小。

檢定三：奇偶分布的卡方檢定

每期開出幾個奇數應該服從超幾何分布。這是檢查「號碼之間的組合」而不只是「單一號碼次數」：

彩種	卡方值	自由度	5% 臨界值	結果
大樂透	2.96	6	12.59	通過
威力彩第一區	5.78	6	12.59	通過
今彩539	11.02	5	11.07	通過（差 0.05）

539 那個 11.02 差一點點就過線，來源是奇偶 3:2 的期數比理論少 2.3 個百分點。另外在奇偶大小那篇我發現威力彩「奇偶 3:3 且大小 3:3」的比例是 14.4%，理論 11.4%，191 期對預期 152 期，約 3.3 個標準差，是本篇第二個擦邊值，而且比第一個更難用「擦線」帶過。我找不到解釋，照實記錄。

檢定四：和值序列的遊程檢定

前面三項都是看「分布」，不看「順序」。如果開獎有某種記憶——例如連續幾期和值偏高之後會「補」偏低——分布可能完全正常，但序列會有結構。遊程檢定（runs test）就是抓這個：把每期和值跟中位數比，標成「高」或「低」，數一數整個序列裡有幾段連續同向的「遊程」。隨機序列的遊程數有已知的期望值跟變異數，可以算 z 分數。

彩種	高／低期數	實際遊程數	期望遊程數	z 分數
大樂透	712／710	698	712.0	−0.74
威力彩第一區	653／653	651	654.0	−0.17
今彩539	1,967／1,951	1,943	1,960.0	−0.54

|z| 要超過 1.96 才算 5% 顯著，三個都在 ±1 以內。前後期之間看不出任何「補償」或「慣性」。這跟冷熱號回測的結論互相印證：前 30 期熱的號碼在下一期沒有優勢，和值高的那期之後也不會傾向開低。

「看不出偏差」跟「證明隨機」為什麼不一樣

我在這篇很小心地不講「證明台彩是隨機的」，理由有三。

第一，統計檢定的邏輯是反向的：我假設它隨機，然後看資料有沒有矛盾。沒有矛盾只代表「隨機模型跟資料相容」，不代表其他模型不相容。一個偏差 0.5% 的搖獎機，在 1,441 期裡幾乎不可能被看出來。

第二，我做了十幾項檢定，用 5% 當門檻，就算一切完全隨機，也預期有大約一項會「不通過」。實際擦邊的是兩項，數量正常；但也因為這樣，我不能把任何一項的通過當成強證據。

第三，我測的是我想到的東西。沒測到的偏差形式永遠存在。所以這篇能給的最誠實結論是：從號碼次數、奇偶組合、前後期關聯三個角度看，台彩三個彩種的開獎都跟隨機模型對得上，沒有一項偏差大到值得懷疑搖獎機。 對買彩券的人來說，實際意義就是：找規律這件事，在這批資料裡找不到支撐。

:::david 寫這系列最大的收穫不是結論，是學到「做很多檢定之後怎麼看待其中一兩個異常值」。以前我會抓著那個 p = 0.001 不放，現在會先問：我總共測了幾項？拆開看還成立嗎？就算成立，對決策有影響嗎？威力彩雙 3:3 那個值三題答案是「幾十項」「大樂透和 539 沒有」「沒有」。所以它進紀錄，不進策略。 :::

常見問題

大樂透開獎通過隨機檢定了嗎？ 每號出現次數的卡方值 29.2（不放回修正後 33.3），自由度 48，5% 臨界值 65.2；奇偶分布卡方 2.96；和值序列遊程檢定 z = −0.74。全部在正常範圍，看不出偏差。

為什麼不說「證明開獎是隨機的」？ 統計檢定只能說「這批資料跟隨機模型沒有矛盾」，不能證明沒有任何偏差——一個很小的偏差可能要幾十萬期才會被看見。「看不出偏差」是我能誠實講的最強結論。

有沒有哪一項檢定沒過？ 有兩項擦邊：威力彩第二區 1～8 的卡方值 14.35 剛超過 5% 臨界值 14.07；威力彩「奇偶 3:3 且大小 3:3」的比例 14.4% 高於理論 11.4%。在十幾項檢定裡出現一兩個 5% 水準的異常，本身就是隨機該有的樣子。

什麼是不放回修正？ 教科書的卡方檢定假設每顆球獨立抽出，但一期六顆球不會重複，同期內號碼互相排擠，變異數會縮小 (1 − 6/49) 倍。不修正的話卡方值會系統性偏低，看起來「太均勻」。